Coupe du monde 2002... Thierry Henry déborde sur l'aile,
au ras de la ligne de touche! Mais il se fait
méchamment tacler par un japonais. Zidane se saisit du ballon pour taper le coup franc. Il a sa botte
secrète, une technique pour surprendre le gardien et tirer directement au but. Mais pour cela,
il doit profiter d'un moment de distraction de l'arbitre pour placer le ballon afin d'avoir l'
angle de tir le plus grand possible. Pourrez-vous l'aider à qualifier la France????
Angle de tir...
Le dessin ci-dessous devrait vous convaincre facilement
qu'il est plus facile de tirer du point C que du point D, et plus encore que du point E, pour marquer un but.
En effet, l'angle ACB et plus grand que l'angle ADB, lui-même plus grand que l'angle AEB.
Résolution mathématique
Si vous avez quelques hésitations pour comprendre certains points du raisonnement,
l'explication se trouve sûrement dans le Dicomaths
Nous avons donc un point M au bord de la touche, et nous
devons trouver quelle est la position ou l'angle AMB est maximal. Par les trois points M,A,B, il
passe toujours un cercle, de centre O, de rayon R. En particulier, OA=OB, donc le point O se trouve
sur la médiatrice de [AB], qui est l'axe au milieu du terrain.
Appliquons le théorème de l'angle inscrit : l'angle AMB vaut la moitié de l'angle
AOB. Donc l'angle AMB est maximal quand l'angle AOB est maximal. Comment peut-on rendre l'angle AOB maximal?
Il est clair que le point O doit être le plus proche possible des points A et B. Mais s'il est trop près,
alors le cercle de centre O, et de rayon OA=OB, ne coupe plus l'axe de la touche. La position optimale
est donc obtenue quand le cercle de centre O de rayon OA est tangent à l'axe de la touche. Si l'axe
médian du terrain et l'axe de touche sont à distance d, le point O vérifie donc OA=OB=d,
et le point M est l'unique point du bord de touche tel que OM=d.
Vérification par Java!
Vérifions donc avec l'applet suivante que notre raisonnement est juste!
