Crédits, intérêts, mensualités...


Avec l'aimable complcité de Pierre Brachet.

  Je ne sais pas si vous êtes déjà allés dans une banque négocier un prêt, mais le vendeur (pardon, le conseiller financier...) vous assaille de chiffres, de taux, d'assurances, de durée, etc... si bien que parfois on ne sait même pas quelle va être la mensualité, ou le coût total.... N'auriez-vous pas envie de pouvoir traduire taux+durée+montant emprunté->mensualité+coût total. La BibMaths va vous y aider...

Mise en équation du problème...

  Supposons que vous désireriez emprunter un montant disons C, pendant la durée de n mois, au taux t, et que le montant de la mensualité soit m. Pour nos exemples, nous emprunterons 10000 euros au taux de 6,17%, en remboursant 500 euros par mois. Nous noterons f(k) le montant qu'il reste à payer après k mois. Nous connaissons au moins deux conditions sur f : d'une part, au départ, il faut tout rembourser, c'est-à-dire f(0)=0. D'autre part, à la fin, on a tout remboursé, donc f(n)=0.

  Le problème est de calculer le montant qu'il reste à rembourser après le (k+1)-ième mois, connaissant le montant qu'il reste à rembourser après le k-ième mois. La première idée serait de dire : puisque je rembourse m euros dans le mois, il me reste f(k)-m euros à rembourser, et donc f(k+1)=f(k)-m. Dans notre exemple, au bout du premier mois, il resterait 10000-500=9500 euros à rembourser. Bien. Mais alors vous êtes dans une banque philantrope! Et les intérêts alors! Et le taux du crédit! Sur l'argent que vous devez à la banque, elle se prend ses intérêts... Et elle les prend au début du mois, sur les 10000F, et non à la fin du mois, sur les 9500F, car c'est la solution la plus avantageuse pour elle! Bon, comme le taux d'intérêt annuel est T%, pour un mois, le taux mensuel t vaut 100.[puissance(1+T/100,1/12)-1] %. et en fait : f(k+1)=f(k)+t%-m. Dans notre exemple, au bout d'un mois, il reste : 10000+0.5%-500 (sachant que 100.[puissance(1+6,17/100,1/12)-1]=0,5). Rappelons-nous nos souvenirs de collège... Ajouter x%, c'est multiplier par 1+x/100 (bien oui, calculer 0,5% de 10000, c'est multiplier par 0.5/100, et donc ajouter à 10000 0,5% de 10000, c'est bien multiplier par 1+0,5/100 [avec une toute petite factorisation]). Dans notre exemple, il nous reste donc : 9550 euros. Ce n'est pas tout à fait pareil....

  A partir de ce raisonnement, tous les mathématiciens du monde déduisent une formule de récurrence pour calculer f(k), c'est-à-dire une expression permettant à partir de f(k), de calculer f(k+1). Ici, on obtient : f(k+1)=f(k)*(1+t/100)-m. C'est ce qu'on appelle une suite arithmético-géométrique, car elle est du type f(k+1)=af(k)+b, ici a=(1+t/100), et b=-m. Or, cela ne pose pas de problèmes (cf l'article indiqué du Dicomaths) de calculer le terme général, c'est-à-dire de donner une expression de f(k) ne dépendant que des données... On trouve avec les notations précédentes :

  En écrivant que f(n)=0, il est possible de calculer une des données connaissant les autres, par exemple le montant de la mensualité si vous connaissez le taux, le montant à rembourser, et le nombre de mesualités...

  Après ces préambules un peu abstrait, il est temps de passer aux exemples!

Je connais le montant total, le taux, le nombre de mensualités... Combien vais-je rembourser par mois?????

Je vais emprunter : euros... pendant mois, au taux annuel de %.

Vous allez payer euros par mois... Le coût total du crédit sera de . Bon courage!

Combien puis-je emprunter??? sachant les mensualités, le taux et la durée...

Je souhaite rembourser par mois, et ce pendant mois. J'ai réussi à négocier un taux de %.

Je peux donc emprunter euros au total!

 


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