Une simple mise en équation, en posant x l'âge de Diophante, conduit à l'équation : x/6+x/12+x/7+5+X/2+4=x, ce qui se résoud facilement en x=84. Si cela peut nous sembler facile, ce l'était beaucoup moins avant l'invention de la notation algébrique moderne par François Viète.
On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa soeur, et de son père. La première équation, facile, est x+y+z=100 (somme des âges égale un siècle). Analysons les autres phrases :
- Quand Timothée aura l'âge qu'a maintenant son père (l'âge de Timothée sera donc z=x+(z-x), donc l'âge de la soeur sera y+(z-x), celui du père sera z+(z-x) ) alors sa soeur sera deux fois plus vieille - on a donc y+(z-x)=2y, c'est-à-dire que x+y-z=0 (et donc z=50!).
- Quand sa soeur aura l'âge actuel de son père (donc l'âge de la soeur sera y+(z-y), celui de Timothée sera x+z-y, celui du père sera 2z-y), l'âge du père sera le double de celui de Timothée, et donc : 2z-y=2*(x+z-y), soit 2x=y.
On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z=50, et : y=50-x, soit 100=3x, soit x=50/3, et donc y=100/3.
Non! En effet, si x est le pourcentage de voix du premier candidat, et s'il y a n candidats, alors on a :x+x/2+x/4+...+x/2n-1=100. Soit en factorisant par x : x*(1+1/2+1/4+...+1/2n-1)=100. Or, d'après le calcul de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on sait que : 1+1/2+...+1/2n-1 <2. On obtient donc que x>50. Le premier candidat est élu sans second tour.
On note x le chiffre des dizaines de mon âge, et y le chiffre des unités. On sait que xy-yx est compris entre 20 et 30, puisque cela correspond à la différence des 2 âges. Or, on vérifie facilement que xy-yx=10*x+y-10*y-x=9*(x-y) est donc un multiple de 9. J'avais donc 27 ans le jour de la naissance de ma fille.
En posant x mon âge, et y le votre, on a par un raisonnement comme ci-dessus que 3x-y=63 et 3x-4y=0, ce qui donne x=28 et y=21.
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